MANTIK
ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT
Önermeler
1. Kazanım : Terim kavramını açıklar, tanımlı ve tanımsız terimlere örnek verir.
2. Kazanım : Önermeyi, önermenin doğruluk değerini, iki önermenin denkliğini ve önermenin olumsuzunu
açıklar.
Bileşik Önermeler
1. Kazanım : Bileşik önermeyi açıklar; ve, veya bağlaçları ile kurulan bileşik önermelerin özelliklerini
ve De Morgan kurallarını doğruluk tablosu kullanarak gösterir.
2. Kazanım : Koşullu önermeyi açıklar; koşullu önermenin karşıtını, tersini, karşıt tersini yazar ve doğruluk
tablosu kullanarak denk olanları gösterir.
3. Kazanım : İki yönlü koşullu önermeyi açıklar, iki yönlü koşullu önerme ile koşullu önermeler arasındaki
ilişkiyi belirtir.
4. Kazanım : Totoloji ve çelişkiyi örneklerle açıklar.
Açık Önermeler
1. Kazanım : Açık önermeyi ve doğruluk kümesini açıklar.
2. Kazanım : Her ve bazı niceleyicilerini örneklerle açıklar, bu niceleyicilerin olumsuzunu yazar.
İspat Yöntemleri
1. Kazanım : Tanım, aksiyom, teorem ve ispat kavramlarını açıklar, bir teoremin hipotezini ve hükmünü
belirtir.
2. Kazanım : İspat yöntemlerini kullanarak basit ispatlar yapar.
10
MANTIK
Doğruluk Çizelgesi
p
1
0
p
1
1
0
0
q
1
0
1
0
p
1
1
1
1
0
0
0
0
q
1
1
0
0
1
1
0
0
r
1
0
1
0
1
0
1
0
1 önerme için: 2 önerme için: 3 önerme için:
23 = 8 durum
22 = 4 durum
21 = 2 durum
n tane önermenin karşılıklı doğruluk değeri
2n tanedir.
ÖRNEK 1
Aşağıdaki ifadelerden hangileri birer önermedir?
a) 32 > 23
b) Ay dünyanın uydusudur.
c) Kaç yaşındasın?
d) Türkiye, Afrika kıtasındadır.
e) 3 + 7 = 9
f) Bugün sinemaya git!
Çözüm
MANTIĞA GİRİŞ
Mantık, doğru ve sistemli düşünme bilimidir. Matematiğin de amacı,
doğru ve sistemli düşünmeyi kazandırmaktır. Dolayısıyla bu bölümde
incelenecek olan sembolik mantığı iyi kavramakla bundan sonraki
matematik öğrenimi kolaylaşacaktır.
Terim: Bir bilim dalında, günlük konuşmaların dışında, özel bir anlama sahip olan kelimelerin her birine o bilim
dalına ait bir terim denir. Örneğin, doğru, düzlem, üçgen, kare, .... birer geometri terimi; sıfat, zarf, edat, .....
birer Türkçe terimidir.
Matematikteki anlam› Günlük konuflma dilindeki anlam›
Nokta
Eleman
Kelime
Hiçbir boyutu olmayan iflaret Cümle sonuna konulan iflaret
Bir kümeyi oluflturan nesnelerin herbiri Bütünü oluflturan parçalardan bir tanesi
Önerme: Doğru ya da yanlış, kesin bir hüküm bildiren ifadelere önerme denir.
Önermeler genellikle p, q, r, s, t, .... gibi küçük harflerle gösterilir. Eğer bir önerme doğru ise bu önermenin
doğruluk değeri 1, yanlış ise bu önermenin doğruluk değeri 0 dır.
Mantık
ESEN YAYINLARI
11
ÖRNEK 2
Aşağıdaki terimlerden hangileri tanımlı hangileri tanımsız
terimdir?
a) Düzlem b) Doğru
c) Üçgen d) Açı
e) Çift sayı f) Açıortay
Çözüm
ÖRNEK 3
Aşağıdaki önermelerin doğruluk değerlerini bulunuz.
a) 17 asal sayıdır.
b) İstanbul, Türkiye’nin başkentidir.
c) 5 – 2 = 3
d) Bir hafta yedi gündür.
e) 8 < 5
f) Çalışırsan başarılı olursun.
Çözüm
Denk (Eş Değer) Önerme
Doğruluk değerleri aynı olan iki önermeye denk ya da
eş değer önermeler denir. p ve q gibi iki önerme denk
ise p ≡ q şeklinde gösterilir.
ÖRNEK 4
p: “Bir hafta yedi gündür.”
q: “6 : 3 = 2”
önermeleri denk önermeler midir? Neden?
Çözüm
ÖRNEK 5
p: “Türkiye’nin başkenti Ankara’dır.”
q: “9 asal sayıdır.”
önermeleri denk önermeler midir? Neden?
Çözüm
ÖRNEK 6
p: “Bir yıl 10 aydır”
q: “2 – 5 > 5 – 2”
önermeleri denk önermeler midir? Neden?
Çözüm
Bir Önermenin Değili (Olumsuzu)
Bir önermenin hükmünün değiştirilmesiyle oluşturulan
yeni önermeye bu önermenin değili (olumsuzu) denir.
Bir p önermesinin değili p′ , p
–
, ∼p sembollerinden
birisi ile gösterilir.
p
1
0
p′
0
1
?????? p doğru ise p′ yanlıştır.
?????? p yanlış ise p′ doğrudur.
?????? Bir önermenin değilinin değili o önermenin kendisidir.
(p′)′ ≡ p
ÖRNEK 7
Aşağıdaki önermelerin “değillerini” bulunuz.
p: “6 çift sayıdır.”
q: “5 + 4 = 8”
r: “2 + 4 > 5”
Çözüm
12
ESEN YAYINLARI
1. Aşağıdaki noktalı yerleri uygun şekildeki doldurunuz.
a) Doğru .................. terimdir.
b) Üçgen .................. terimdir.
c) Eşit tanımsız ................
d) Dörtgen tanımlı ...............
e) Küme ..................... terimdir.
2. Aşağıdaki ifadeler doğruysa boş kutulara “ D ”
yanlışsa “ Y ” yazınız.
2 farklı önermenin doğruluk değeri için 4
durum vardır.
3 farklı önermenin doğruluk değeri için 9
durum vardır.
4 farklı önermenin doğruluk değeri için 16
durum vardır.
5 farklı önermenin doğruluk değeri için 32
durum vardır.
3. Aşağıdaki ifadelerden hangileri birer önermedir?
Önerme olanların doğruluk değerlerini bulunuz.
a) Çift sayıların küpü çift sayıdır.
b) Bütün tek sayılar asal sayıdır.
c) 3 + 4 > 8 – 2
d) Ders çalışır mısınız?
e) 1453 sayısı 3 ile tam bölünür mü?
f) Bir yıl 360 gündür.
g) Muz bir meyvedir.
h) 4 asal sayıdır.
ı) İyi akşamlar.
4. Aşağıdaki önermelerin olumsuzlarını bulunuz.
p : 2 asal sayıdır.
q : 1 + 4 ≤ 2 . 5
r : Şubat ayı en kısa aydır.
s : Bir hafta 7 gündür.
t : Tavuk dört ayaklı bir hayvandır.
5. a) Önerme olmayan 3 tane cümle yazınız.
b) 3 tane doğru önerme yazınız.
c) 3 tane yanlış önerme yazınız.
6. Dört farklı önermenin doğruluk değerleri için doğruluk
tablosu yapınız.
7. p : “ Yüz ölçümü en küçük olan bölgemiz
Marmara Bölgesidir. ”
q : “ 1 – 3 < 2 – (–1) ”
r : “ Bütün asal sayılar tek sayıdır. ”
t : “ Türkiye’nin yönetim şekli cumhuriyettir. ”
önermeleri veriliyor. Aşağıdakilerden doğru olanlar
için boş kutulara “ D ” yanlış olanlar için “ Y ”
yazınız.
ı. p ≡ r ıı. r ≡ t
ııı. q ≡ t ıv. q ≡ r
v. p ≡ q
ALIŞTIRMALAR – 1
Mantık
13
BİLEŞİK ÖNERMELER VE DOĞRULUK DEĞERLERİ
İki veya daha çok önermenin birbirine mantık bağlaçları denilen “ veya ”, “ ve ”, “ ise ”, “ ancak ve ancak ” gibi bağlaçlarla
bağlanmasıyla elde edilen yeni önermeye bileşik önerme denir.
Veya ( v ) bağlacı ile kurulan bileşik önermeler
Ve ( Λ ) bağlacı ile kurulan bileşik önermeler
Ecem babasından akşam eve gelirken kiraz veya şeftali
almasını istemiştir.
Babası eve geldiğinde aşağıdaki durumlardan birini yapmış
olabilir.
1. Kiraz almış, şeftali almamıştır.
2. Şeftali almış kiraz almamıştır.
3. Hem kiraz hem de şeftali almıştır.
4. Kiraz ve şeftali almamıştır.
İlk üç durum gerçekleşmişse, babası Ecem’in isteğini yerine getirmiştir. Dördüncü durumda isteğini yerine
getirmemiştir.
p : Ecem’in babası kiraz almıştır. q : Ecem’in babası şeftali almıştır.
alınırsa aşağıdaki doğruluk tablosu oluşur.
p
1
1
0
0
q
1
0
1
0
p ∨ q
1
1
1
0
Sonuç : Veya ( v ) bağlacı ile bağlanmış iki önermenin oluşturduğu bileşik önerme,
bileşenlerinden en az biri doğru iken doğru, ikisi de yanlış iken yanlıştır.
“Aybars ile Gizem okula gitti” bileşik önermesinde
p : “ Aybars okula gitti ”
q : “ Gizem okula gitti ” olsun.
?????? Aybars ile Gizem okula gitmişse bu bileşik önerme doğrudur.
?????? Aybars okula gitmiş, Gizem okula gitmemişse bu bileşik önerme yanlıştır.
?????? Aybars okula gitmemiş, Gizem okula gitmişse bu bileşik önerme yanlıştır.
?????? İkisi de okula gitmemişse bu bileşik önerme yanlıştır.
Bu durum aşağıdaki tablo ile ifade edilmiştir.
p
1
1
0
0
q
1
0
1
0
p ∧ q
1
0
0
0
Sonuç : Ve ( ∧ ) bağlacı ile bağlanmış iki önermenin oluşturduğu bileşik önerme,
bileşenlerin ikisi de doğru iken doğru, diğer durumlarda yanlıştır.
Mantık
ESEN YAYINLARI
14
Tek kuvvet özeliği
p ∨ p = p
p ∧ p = p
Değişme özeliği
p ∨ q = q ∨ p
p ∧ q = q ∧ p
Birleşme özeliği
(p ∨ q) ∨ r = p ∨ (q ∨ r)
(p ∧ q) ∧ r = p ∧ (q ∧ r)
Dağılma özeliği
p ∧ (q ∨ r) = (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
p ∨ (q ∧ r) = (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
De Morgan Kuralı
(p ∧ q)′ = p′ ∨ q′
(p ∨ q)′ = p′ ∧ q′
Önemli Kurallar
p ∨ 1 ≡ 1 p ∧ 1 ≡ p
p ∨ 0 ≡ p p ∧ 0 ≡ 0
p ∨ p′ ≡ 1 p ∧ p′ ≡ 0
ÖRNEK 8
p: “Bugün kar yağdı.”
q: “Özge okuldadır.”
önermeleri için p ∨ q , p ∧ q , p′ ∨ q , p ∧ q′
bileşik önermelerini ifade ediniz.
Çözüm
ÖRNEK 9
Aşağıdaki bileşik önermelerin doğruluk değerlerini
bulunuz.
a) “22 = 4 veya (–2)2 = 4”
b) “(–1)4 = 1 veya elma mavi renktedir.”
c) “
2
1 tam sayıdır veya 2 asal sayıdır.”
d) “3 çift sayıdır veya 2 tek sayıdır.”
Çözüm
ÖRNEK 10
Aşağıdaki bileşik önermelerin doğruluk değerlerini
bulunuz.
a) “22 = 4 ve (–2)2 = 4”
b) “(–1)4 = 1 ve elma mavi renktedir.”
c) “ 2
1 tam sayıdır ve 2 asal sayıdır.”
d) “3 çift sayıdır ve 2 tek sayıdır.”
Çözüm
ÖRNEK 11
Aşağıdaki verilen ifadeleri hesaplayınız.
a) [(1 ∨ 0) ∧ (0 ∧ 1′)′]′
b) (0 ∨ 1′)′ ∨ [(0 ∧ 1) ∨ (1 ∨ 0)′]
Çözüm
Mantık
ESEN YAYINLARI
15
ÖRNEK 12
p′ ∨ q ≡ 0 iken p ∧ q′ önermesinin doğruluk değeri
nedir?
Çözüm
ÖRNEK 13
p ∨ (p ∧ q) ≡ p olduğunu gösteriniz.
Çözüm
ÖRNEK 14
(p′ ∧ 1)′ ∧ (p ∨ 0) ≡ 1 ise p önermesinin doğruluk
değeri nedir?
Çözüm
ÖRNEK 15
(p ∧ r′) ∧ (r ∨ q′) ≡ 1 ise p, q, r önermelerinin doğruluk
değerlerini bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 16
(q′ ∨ r) ∨ p ≡ 0 ise p, q, r önermelerinin doğruluk
değerlerini bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 17
[ p′ ∧ (q ∨ r)′ ]′ ≡ 0 ise p, q, r önermelerinin doğruluk
değerlerini bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 18
p ≡ r ≡ 1 ve q ≡ 0 ise p′ ∨ (r ∧ q′) önermesinin
doğruluk değeri nedir?
Çözüm
ÖRNEK 19
(p ∧ q) ∨ p′ ≡ q ∨ p′ olduğunu gösteriniz.
Çözüm
Mantık
16
ÖRNEK 20
De Morgan kuralları denilen
a) (p ∨ q)′ ≡ p′ ∧ q′
b) (p ∧ q)′ ≡ p′ ∨ q′
denkliklerinin doğruluğunu gösteriniz.
Çözüm
TOTOLOJİ VE ÇELİŞKİ
Bir bileşik önermeye, bileşenlerin tüm doğruluk değerleri
için daima doğru oluyorsa totoloji, daima yanlış
oluyorsa çelişki adı verilir.
p
1
0
p′
0
1
p ∨ p′
1
1
Totoloji
p
1
0
p′
0
1
p ∧ p′
0
0
Çeliflki
ÖRNEK 21
?????? [(p′ ∧ q) ∧ (p ∨ q′)]′ ≡ (p′ ∧ q)′ ∨ (p ∨ q′)′
≡ (p ∨ q′) ∨ (p ∨ q′)′
≡ 1 olup totolojidir.
(Burada p ∨ p′ ≡ 1 özeliğini kullandık.)
?????? (p ∧ q)′ ∧ (p′ ∨ q′)′ ≡ (p ∧ q)′ ∧ (p ∧ q)
≡ 0 olup çelişkidir.
(Burada p ∧ p′ ≡ 0 özeliğini kullandık.)
PARADOKS
Paradoks, Yunanca zıt anlamındaki “para” kelimesiyle, fikir anlamına
gelen “daxos” kelimesinin birleşmesinden oluşmuştur.
Paradoks, mantıklı bazı varsayımların kişiyi mantıksız sonuçlara
ulaştırması olayıdır.
Timsah Paradoksu
Bir annenin elinden çocuğunu kapan timsah, çocuğa ne yapacağını annenin bilmesi durumunda çocuğu vereceğini
söyler. Anne, timsaha çocuğunu yiyeceğini söyler, böylelikle meydana gelen paradoksal durum sonucunda
çocuğunu kurtarır.
Şöyle ki, timsah çocuğu yiyecekse anne timsahın ne yapacağını bilmiş olacak ve timsah çocuğu teslim edecek
ancak çocuk teslim edilince anne timsahın ne yapacağını bilmemiş olacak; timsah çocuğu yemeyecekse anne
bilemediğinden çocuğu yiyecek ama o zaman anne timsahın yapacağını bilmiş olacak ve bu yüzden yememesi
gerekecek. Kısaca, bu iki durumda da timsah çocuğu ne yiyebilir ne de yiyemez.
Mantık
17
ÖRNEK 22
p: “5 < 7”
q: “sıfır bir çift sayıdır.” olduğuna göre,
p ⇒ q önermesi gerektirme midir?
Çözüm
ÖRNEK 23
p: “En küçük asal sayı 2 dir.”
q: “30, 4 ile tam bölünür.”
olduğuna göre, p ⇒ q önermesi gerektirme midir?
Çözüm
ÖRNEK 24
(p ⇒ q) ≡ (p′ ∨ q)
ifadesini doğruluk tablosu yardımıyla ispatlayınız.
Çözüm
KOŞULLU ÖNERME
p ve q önermelerinin ise (⇒) bağlacı ile bağlanmasıyla elde edilen “p ise q” bileşik önermesine koşullu
önerme denir.
“ Babası Arda’ya üniversiteye girersen sana araba alacağım” diyor.
p : “ Arda üniversiteye girdi. ”
q : “ Babası Arda’ya araba aldı.” olsun.
?????? Arda ünivertiseye girerse ve babası ona araba alırsa babası sözünü tutmuş olacağından p ⇒ q
önermesi doğru olur.
?????? Arda üniversiteye girer ama babası ona araba almazsa babası sözünü tutmamış olacağından
p ⇒ q önermesi yanlış olur.
?????? Arda üniversiteye girmezse, babası ona araba alsa da almasa da sözünü tutmaması söz konusu
olmayacağından p ⇒ q önermesi doğrudur.
?????? p ⇒ q koşullu önermesinin doğruluk değeri 1 ise bu koşullu önermeye gerektirme denir.
?????? p ⇒ q bileşik önermesinin tablosu
??? ise (⇒) bağlacının özelikleri
p ⇒ q ≡ q′ ⇒ p′ p ⇒ 0 ≡ p′
p ⇒ q ≡ p′ ∨ q p ⇒ p′ ≡ p′
(p ⇒ q)′ ≡ p ∧ q′ 1 ⇒ p ≡ p
p ⇒ p ≡ 1 0 ⇒ p ≡ 1
p ⇒ 1 ≡ 1 p′ ⇒ p ≡ p
p
1
1
0
0
q
1
0
1
0
p ⇒ q
1
0
1
1
p ⇒ q önermesinin; karşıtı: q ⇒ p , tersi: p′ ⇒ q′ , karşıt tersi: q′ ⇒ p′ dir.
Mantık
ESEN YAYINLARI
18
ÖRNEK 25
(p ∧ q) ⇒ p önermesinin totoloji olduğunu gösteriniz.
Çözüm
ÖRNEK 26
Aşağıda verilen önermeleri en sade şekilde yazınız.
a) p ⇒ (p ∨ q)
b) (p ⇒ q) ∧ (p ∧ q′)
Çözüm
ÖRNEK 27
(p′ ⇒ q)′ ∧ r′ ≡ 1 ise p , q , r önermelerinin doğruluk
değerlerini bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 28
(p ⇒ q) ≡ (q′ ⇒ p′) olduğunu gösteriniz.
Çözüm
ÖRNEK 29
p: “n çifttir.”
q: “n3 çifttir.”
p ⇒ q önermesi ile bu önermenin karşıtı, tersi ve
karşıt tersini ifade ediniz.
Çözüm
ÖRNEK 30
(p ∧ q) ⇒ p′ önermesinin karşıt tersini en sade şekilde
ifade ediniz.
Çözüm
Mantık
ESEN YAYINLARI
19
İKİ YÖNLÜ KOŞULLU ÖNERME
(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) bileşik önermesine iki yönlü koşullu
önerme denir.
p ⇔ q ≡ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)
p
1
1
0
0
q
1
0
1
0
p ⇔ q
1
0
0
1
?????? p ⇔ q önermesi doğru ise bu önermeye iki yönlü
gerektirme veya çift gerektirme denir.
?????? p ⇔ p ≡ 1
p ⇔ p′ ≡ 0
p ⇔ 1 ≡ p
p ⇔ 0 ≡ p′
(p ⇔ q) ≡ (p′ ⇔ q′)
ÖRNEK 31
p ⇔ q ≡ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)
olduğunu doğruluk tablosu yardımıyla ispatlayınız.
Çözüm
ÖRNEK 32
x = 2 ⇔ x2 = 4 iki yönlü koşullu önermesi bir çift gerektirme
midir?
Çözüm
ÖRNEK 33
(p ∨ q) ⇔ (p′ ∧ q′) önermesinin çelişki olduğunu doğruluk
tablosu ile gösteriniz.
Çözüm
ÖRNEK 34
(p ∨ q) ⇔ q ≡ (p ⇒ q) olduğunu gösteriniz.
Çözüm
ÖRNEK 35
p ≡ 1 , q ≡ 0 , r ≡ 1 ise
(p ∨ q)′ ⇔ [r′ ⇒ (p′ ∧ q)] önermesinin doğruluk değeri
nedir?
Çözüm
Mantık
20
ETKİNLİK
Bileşik Önermelerin Elektrik Devrelerine Uygulanışı
Anahtar
Batarya
Anahtar
Batarya
Şekillerde de görüldüğü gibi bir elektrik devresinde lamba
yanmıyorsa anahtar açık yani akım geçmiyor demektir.
Bu durum doğruluk değeri 0 olan önermeye karşılık gelir.
Lamba yanıyorsa anahtar kapalı yani akım geçiyor demektir.
Bu durum ise doğruluk değeri 1 olan önermeye karşılık
gelir.
p q
Seri bağlama yukarıdaki şekilde olup
p ∧ q ile ifade edilir.
p
q
Paralel bağlama yukarıdaki şekilde olup
p ∨ q ile ifade edilir.
ÖRNEK 36
q r
s
p Yandaki devreye ait bileşik önermeyi yazınız ve lambanın yanıp yanmayacağını
belirtiniz.
Çözüm
ÖRNEK 37
m
r
s t
p
q Yandaki devreye ait bileşik önermeyi yazınız ve devreden akım geçip
geçmeyeceğini belirtiniz.
Çözüm
ÖRNEK 38
t′
p′
s
r
q
p ≡ q ≡ r ≡ 1 ve s ≡ t ≡ 0 olmak üzere,
[s ∧ (r ∨ t′)] ∨ (q ∧ p′) bileşik önermesine karşılık
gelen elektrik devresi yandaki şekilde ifade edilmiştir.
İnceleyiniz.
Mantık
ESEN YAYINLARI
21
AÇIK ÖNERME
İçinde değişken bulunan ve bu değişkenin alabileceği
farklı değerler için doğru ya da yanlış bir ifade elde
edilen önermelere açık önerme denir.
x değişken olmak üzere açık önerme P(x) ya da Px
biçiminde gösterilir. x ve y değişken ise açık önerme
P(x, y) biçiminde gösterilir. Açık önermeyi doğru yapan
değerlerin kümesine, açık önermenin doğruluk
kümesi denir.
ÖRNEK 39
p: “x : x bir Avrupa kentidir.”
açık önermesinde değişken yerine uygun değerler
yazarak doğru ya da yanlış önermeler elde ediniz.
Çözüm
ÖRNEK 40
p: “x : x ∈ Z ve x2 – 4 = 0” açık önermesinin doğruluk
kümesini bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 41
P(x, y): “x – 2y < 10, x, y ∈ Z”
açık önermesine göre, P(1, –4), P(4, –5) önermelerinin
doğru ya da yanlış olduğunu gösteriniz.
Çözüm
NİCELEYİCİLER
?????? “Bazı” ya da “En az bir” niceleyicilerine varlıksal
niceleyici denir ve ∃ sembolü ile gösterilir.
?????? “Her” ya da “Bütün” niceleyicilerine evrensel
niceliyici denir ve ∀ sembolü ile gösterilir.
?????? (∀x, P(x))′ ≡ (∃x, P′(x))
(∃x, P(x))′ ≡ (∀x, P′(x)) dir.
Örneğin;
(∃x ∈ R, x + 3 > 0)′ ≡ (∀x ∈ R, x + 3 ≤ 0) dır.
(∀x ∈ R, x2 – 1 ≥ 0)′ ≡ (∃x ∈ R, x2 – 1 < 0) dır.
TANIM, AKSİYOM, TEOREM
Tanım: Bir terimi tanımlamak demek, o terimin özeliklerini,
tanımsız terimler ve daha önce tanımlanmış
terimler yardımıyla belirtmek demektir. Bir tanım yapılırken;
tanım tutarlı olmalı, daha önce verilen tanımlarla
çelişmemeli ve tanımlanan terimin sağlayacağı
özelikler kesin olarak ortaya konmalı, şüpheli durumlar
ortaya çıkmamalıdır.
Aksiyom: Doğruluğu ispatlanamayan ama doğru olduğu
kabul edilen önermelere aksiyom denir. Bir bilim
dalına ait olan aksiyomlar; birbiriyle çelişmemeli ve
bağımsız olmalıdır. Bir aksiyom diğer bir aksiyomdan
elde edilmemeli ve mümkün olduğu kadar az sayıda
olmalıdır. Örneğin “iki noktadan ancak bir doğru
geçer.” önermesi bir aksiyomdur.
Teorem: Doğruluğunu ispatlayabildiğimiz önermelere
teorem denir. p bir doğru önerme iken
p ⇒ q önermesi doğru ise p ⇒ q önermesine bir teorem
denir.
p ⇒ q teoreminde; p önermesine hipotez
q önermesine hüküm
adı verilir. Bir teoremde hem hipotez hem de hüküm
birer doğru önermedir.
Örneğin;
“ABC eşkenar üçgen ise IABI = IACI = IBCI dir.”
önermesi bir teoremdir.
Mantık
22
Doğrudan (Direkt) İspat Yöntemi
Teorem : a ve b çift sayılar ise a + b çift sayıdır.
Hipotez : a ve b çift sayılar
Hükum : a + b çifttir.
İspat : a = 2k ve b = 2p olsun. ( k, p ∈ Z )
a + b = 2k + 2p = 2( k + p ) olur.
k, p ∈ Z ise k + p ∈ Z olacağından 2( k + p ) çifttir.
Yani, a + b çifttir.
Dolaylı İspat Yöntemleri
A. Olmayana Ergi Yöntemi ile İspat
p ⇒ q ≡ q′ ⇒ p′ olduğundan q′ doğru iken p′ nin
doğru olduğunu gösterirsek, p ⇒ q teoremini ispatlamış
oluruz.
Teorem : “ Tek doğal sayının karesi yine tek doğal
sayıdır. ”
İspat :
p : “ x tek doğal sayıdır.”
q : “ x2 tek doğal sayıdır.”
p′ : “ x tek doğal sayı değildir.”
q′ : “ x2 tek doğal sayı değildir.”
q′ doğru olsun. Yani, “ x2 tek doğal sayı değildir.”
x2 çift doğal sayıdır.
x2 2 ile bölünür.
x çift sayıdır.
“ x tek doğal sayı değildir. ”
Bu durumda, p′ doğru olur.
O halde q′ ⇒ p′ teoreminin doğru olduğunu göstermiş
olduk. Dolayısıyla p ⇒ q teoremi ispatlandı.
B. Çelişki Yöntemi İle İspat
Teorem : v2 rasyonel bir sayı değildir.
İspat : v2 rasyonel bir sayı olsun.
Bu durumda a ve b aralarında asal iki sayma sayısı
olmak üzere b
a = v2 yazılabilir.
b a
= v2 ⇒
b
a
2
2
= 2 ⇒ a2 = 2b2 olur.
Bu durumda a2 çift sayıdır. O halde a da çift sayı
olmak zorundadır. Yani, a = 2k alınabilir. ( k ∈ Z+ )
2b2 = a2 ⇒ 2b2 = (2k)2 ⇒ b2 = 2k2
Yani, b2 de çift sayıdır. Dolayısıyla b de çift sayıdır.
b = 2p olsun.
a = 2k ve b = 2p bulduk. Bu durumda a ile b
aralarında asal olamazlar.
Yani, b
a = v2 biçiminde yazamayız.
Dolayısıyla v2 rasyonel bir sayı değildir.
C. Deneme Yöntemi İle İspat
“ A = {1, 2, 3} olmak üzere, ∀ x ∈ A için x2 – 4x < 0 dır.”
Önermesini ispatlayalım.
x = 1 için 12 – 4.1 = –3 < 0
x = 2 için 22 – 4.2 = –4 < 0
x = 3 için 32 – 4.3 = –3 < 0
olduğundan ∀ x ∈ A için x2 – 4x < 0 dır.
ESEN YAYINLARI
Aşağıdaki şemada, matematik ve geometri derslerinde kullanacağımız ispat yöntemleri gösterilmiştir.
‹SPAT YÖNTEMLER‹
Tümden gelim Tüme var›m
Do¤rudan ispat Dolayl› ispat
Aksine örnek
vererek ispat
Deneme
yöntemiyle ispat
Çeliflki
yöntemiyle ispat
Olmayana ergi
yöntemiyle ispat
İSPAT YÖNTEMLERİ
23
ESEN YAYINLARI
1. p : Deniz mavidir.
q : Deniz güzeldir.
Önermeleri için aşağıdaki önermeleri ifade ediniz
a) p ∧ q b) p ∨ q c) p′ ∧ q d) p ∨ q′
2. Aşağıdaki önermelerin olumsuzlarını bulunuz.
a) p ∨ (p ∧ q′)
b) (p′ ∨ q)′ ∧ q′
c) (p ∨ q) ∨ (p′ ∨ q′)
3. (1 ∨ 0) ∧ [ 0 ∨ (1 ∧ 0)′]′ ifadesini hesaplayınız.
4. (p′ ∨ q)′ ∧ (q′ ∧ r) ≡ 1 olduğuna göre p , q , r
önermelerinin doğruluk değerlerini bulunuz.
5. Aşağıdaki önermelerin birer totoloji veya çelişki
olup olmadığını gösteriniz.
a) q′ ∨ ( p ∧ q′)′
b) (p ∧ q) ∧ [(p ∨ r) ∧ q′]
c) (p ∧ q ) ∧ (p ∨ q)′
d) (p′ ∨ q) ∧ q′
e) (p ∧ q) ⇒ (p ∨ q)
6. (p ∨ q′) ∨ (p ⇒ q) bileşik önermesinin değili
nedir?
7. Aşağıdaki koşullu önermelerin karşıtını, tersini,
karşıt tersini yazınız.
a) p ⇒ q b) p′ ⇒ q c) p′ ⇒ q′
d) (p ∧ q) ⇒ r e) (p ∧ q) ⇒ (p′ ∧ q)
8. p ≡ 1 , q ≡ 0 , r ≡ 1 ise aşağıdaki önermelerin
doğruluk değerlerini bulunuz.
a) p ∨ (q ∧ r′) b) p ⇒ (q′ ∧ r)
c) (p′ ∨ q′) ⇒ r′ d) (p ⇔ q′) ∨ (p ⇒ q′)
9. p ⇔ q önermesinin olumsuzunu bulunuz.
10. Aşağıdaki ifadeleri sadeleştiriniz.
a) p ⇔ p b) p ⇔ 1
c) p ⇔ 0 d) p ⇔ p′
e) (p ⇒ q)′ f) p ⇒ (p′ ∧ q)′
g) [p ∧ (p ⇒ q) ] ∧ q′ h) (p ⇒ 1) ∧ (p′ ∨ 0)
ALIŞTIRMALAR – 2
Mantık
24
ESEN YAYINLARI
11. Aşağıdaki tabloda bazı terimler ve olumsuzları
verilmiştir. Tablodaki boşlukları doldurunuz.
Terim
Olumsuzu
= v
v
≤ ≥
<
≡ ∃
∃
∀ >
12. Aşağıdaki önermelerde x değişkenleri birer tam
sayıdır. Verilen önerme doğru ise boş kutuya
“ D ” yanlış ise “ Y ” yazınız.
∀ x , x2 > 0
∃ x , 2x – 1 < 3
( ∃ x , x < 2 ) v ( ∀ x , x + 2 = 3 )
(∀ x , x3 > 0 ) v ( ∃ x , x2 –1 < 0 )
13. Aşağıdaki noktalı yerleri uygun şekilde doldurunuz.
P(x) : x ∈ R , 3x – 1 < 4
a) x yerine ................ yazılırsa önerme doğru
olur.
b) x yerine ................ yazılırsa önerme yanlış
olur.
14. Aşağıdaki önermelerin denklerini sağ sütundan
bularak eşleştiriniz.
1. 1
2. p ∧ q
3. 0
4. p′ ⇔ q
a. p ⇔ (p′ v q)
b. [ p ∧ (p ⇒ q) ] ⇒ p
c. (p ⇔ q)′
d. p ⇔ p′
15. Aşağıdaki teoremleri doğrudan ispat yöntemi ile
ispatlayınız.
a) “İki tek sayının çarpımı tek sayıdır.”
b) “Çift sayının karesi yine çift sayıdır.”
c) “x ve y tek sayılar ise x + y çift sayıdır."
16. Aşağıdaki teoremleri olmayana ergi yöntemi ile
ispatlayınız.
a) “4x – 3 = 9 ise x = 3 tür.”
b) “Tek sayı ile çift sayının toplamı tek sayıdır.”
c) “(x ≠ –2) ⇒ (2x + 3 ≠ –1)"
17. Aşağıdaki teoremleri deneme yöntemi ile ispatlayınız.
a) “A = {0, 1, 2 } olmak üzere ∀ x ∈ A için
x2 – 4 ≤ 0 dır.”
b) “A = {–1, 0, 1 } olmak üzere ∀ x ∈ A için
x – x2 + 6 > 0 dır.”
ESEN YAYINLARI
27
TEST – 1
1. Aşağıdakilerden hangisi tanımsız terimdir?
A) Açı B) Üçgen C) Düzlem
D) Çember E) Kare
2. Aşağıdaki ifadelerden hangisi bir önerme değildir?
A) 6 tek sayıdır.
B) 9 sayısı 10 sayısından küçüktür.
C) Ay, dünyanın uydusudur.
D) Benimle sinemaya gelir misin?
E) Çalışmazsan sınıfta kalırsın.
3. Aşağıdakilerden hangisi “Yazın kar yağmaz.”
önermesinin değilidir?
A) Kışın kar yağmaz.
B) Yazın kar yağar.
C) Yazın kar yağabilir.
D) Kışın kar yağar.
E) Kışın kar yağabilir.
4. p = 0 ise (p′ ∧ q) ∨ p önermesi aşağıdakilerden
hangisine denktir?
A) 0 B) 1 C) p D) q E) p ∧ q
5. p ∧ q ≡ 1 ve q′ ∨ r′ ≡ 0 ise p, q, r önermelerinin
doğruluk değerleri sırasıyla nedir?
A) 1, 1, 1 B) 1, 1, 0 C) 1, 0, 1
D) 1, 0, 0 E) 0, 0, 0
6. Aşağıdaki denkliklerden hangisi yanlıştır?
A) p ∧ (q ∧ r) ≡ (p ∧ q) ∧ r
B) (p′)′ ≡ p
C) p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
D) p ∧ 0 ≡ 0
E) (p ∨ q)′ ≡ p′ ∨ q′
7. (p′ ∧ q) ∨ r bileşik önermesinin olumsuzu aşağıdakilerden
hangisidir?
A) (p ∧ q′) ∧ r′ B) (p′ ∧ q) ∨ r′
C) (p ∨ q′) ∧ r′ D) (p ∨ q′) ∨ r′
E) (p′ ∧ q) ∧ r′
8. p ∨ (p ∨ q)′ bileşik önermesi aşağıdakilerden
hangisine denktir?
A) p′ ∧ q B) p′ ∨ q C) p ∨ q′
D) p ∧ q′ E) p ∨ q
Mantık
ESEN YAYINLARI
28
1. C 2. D 3. B 4. D 5. A 6. E 7. C 8. C 9. A 10. E 11. B 12. C 13. B 14. B 15. D 16. D
9. (p ∧ q) v (p ∧ q′) önermesi aşağıdakilerden hangisine
denktir?
A) p B) q C) p′ D) q′ E) q ∨ q′
10. Aşağıdakilerden hangisi totolojidir?
A) p ∧ 0 B) p′ ∧ 0 C) p ∨ 0
D) p ∧ p′ E) p ∨ p′
11. Aşağıdaki önermelerden hangisi yanlıştır?
A) ∃x, y ∈ R, (x + y)2 = x2 + y2
B) ∀x ∈ R, x2 = x
C) ∀x ∈ R, x2 ≥ 0
D) ∀x, y ∈ R, (x – y)2 = x2 – 2xy + y2
E) ∀x ∈ R, 0 < x < 1 ⇒ x2 < x
12. p ⇔ (p ∨ q) önermesinin en sade şekli aşağıdakilerden
hangisidir?
A) q ∨ p B) q′ ∧ p C) q ⇒ p
D) p ⇒ q E) q ∧ p
13. p ∧ q ≡ 1 ve p ⇔ r ≡ 0 ise p, q, r önermelerinin
doğruluk değerleri sırasıyla nedir?
A) 1, 1, 1 B) 1, 1, 0 C) 1, 0, 1
D) 1, 0, 0 E) 0, 1, 1
14. (p ∧ q) ⇒ r önermesi yanlış ise aşağıdaki önermelerden
hangisi doğrudur?
A) (p ∨ q) ∧ r B) (p ∧ q) ⇒ r′
C) (p ∧ q) ∧ r D) (p ⇒ q) ∧ r
E) (p ∨ q) ⇒ r
15. Aşağıdaki bileşik önermelerden kaç tanesi totolojidir?
l. q′ ⇒ q
II. (p ∧ q′)′ ∨ q′
III. r ⇒ (p ⇒ r)
IV. [(p ⇒ q) ∧ p] ⇒ p
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
16. Aşağıdakilerden hangisi çelişkidir?
A) p ∨ p′ B) p ⇔ p C) p ⇒ 0
D) p ⇔ p′ E) p′ ⇒ p
ESEN YAYINLARI
31
1. l. “∀x ∈ R için 2x2 + 1 ≥ 0”
II. “∀x ∈ Z için x2 = 16”
III. “(∃x ∈ Z için x3 < x2) ⇒ (∀x ∈ R için x2 + 4 ≤ 0)”
IV. “∃x ∈ R için x
x ≠ 1”
önermelerinin doğruluk değerleri sırasıyla aşağıdakilerden
hangisidir?
A) 1, 0, 0, 0 B) 1, 0, 1, 0 C) 1, 1, 0, 1
D) 1, 0, 0, 1 E) 1, 0, 1, 1
2. p v (q ⇒ r′) ≡ 0 olduğuna göre p, q, r önermelerinin
doğruluk değerleri sırasıyla aşağıdakilerden
hangisidir?
A) 0, 0, 1 B) 0, 1, 1 C) 1, 1, 0
D) 1, 0, 1 E) 1, 1, 1
3. [(p ⇒ q) ∧ q′ ] ⇒ p′ önermesi aşağıdakilerden
hangisine denktir?
A) p B) q′ C) 1 D) 0 E) q
4. p v (q ⇒ r′) ≡ 0 olduğuna göre p, q ve r önermelerinin
doğruluk değerleri sırasıyla aşağıdakilerden
hangisidir?
A) 1, 0, 1 B) 1, 1, 0 C) 0, 0, 1
D) 0, 1, 0 E) 0, 1, 1
5. (∃x ∈ Z , x2 – x > 0) ⇒ (∀x ∈ R, x + 5 = 0)
önermesinin olumsuzu aşağıdakilerden hangisidir?
A) (∃x ∈ Z, x2 – x > 0) ∨ (∃x ∈ R, x + 5 = 0)
B) (∀x ∈ Z, x2 – x ≤ 0) ⇒ (∃x ∈ R, x + 5 ≠ 0)
C) (∃x ∈ Z, x2 – x > 0) ∧ (∃x ∈ R, x + 5 ≠ 0)
D) (∀x ∈ Z, x2 – x ≤ 0) ∧ (∀x ∈ R, x + 5 = 0)
E) (∀x ∈ Z, x2 – x ≤ 0) ∧ (∀x ∈ R, x + 5 ≠ 0)
6. p′ ⇒ (q ∧ p)′ önermesinin olumsuzu (değili) aşağıdakilerden
hangisidir?
A) 1 B) p′ C) q D) 0 E) p
7. p ∧ q önermesi doğru bir önerme olduğuna göre
aşağıdaki önermelerin hangisi yanlıştır?
A) p ⇒ q B) p ⇔ q C) p v q
D) p′ v q E) p ∧ q′
8. (p ∧ q) ⇒ r önermesi yanlış bir önerme olduğuna
göre, aşağıdaki önermelerin hangisi doğrudur?
A) p′ ∧ q B) p ⇒ r C) q ⇒ r
D) p v r E) r′ ⇒ p′
TEST – 3
Mantık
ESEN YAYINLARI
32
1.D 2.B 3.C 4.E 5.C 6.D 7.E 8.D 9.A 10.A 11.C 12.B 13.E 14.D 15.A 16.D
9. q ⇒ (p v q) önermesi aşağıdakilerden hangisine
denktir?
A) 1 B) 0 C) p′ D) q E) q′
10. [p ⇒ (p v q)]′ önermesi aşağıdakilerden hangisine
denktir?
A) 0 B) 1 C) p D) p′ E) q
11. (p′ ⇒ q)′ ∧ r ≡ 1 ise p, q ve r önermelerinin
doğruluk değerleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?
A) 0, 1, 0 B) 1, 0, 1 C) 0, 0, 1
D) 0, 1, 1 E) 0, 0, 0
12. (p ⇒ q) ∧ (p ⇒ q′) önermesi aşağıdakilerden
hangisine denktir?
A) p B) p′ C) q D) q′ E) 1
13. Aşağıdaki bileşik önermelerden hangisi bir totolojidir?
A) p v q B) p ⇔ q C) p′ v q
D) 1 ⇒ p E) 1 v p
14. (p ⇒ q) v r ≡ 0 olduğuna göre p, q, r önermelerinin
doğruluk değerleri sırasıyla aşağıdakilerden
hangisidir?
A) 0, 0, 1 B) 0, 1, 1 C) 1, 1, 0
D) 1, 0, 0 E) 1, 0, 1
15. (p ∧ q′) ⇒ (r ∧ p) ≡ 0 ise (p ⇒ r) v q önermesi
aşağıdakilerden hangisine denktir?
A) 0 B) 1 C) p D) q′ E) r′
16. (∃x ∈ R, x2 = 1) ⇒ (∀x ∈ R, x3 > 0)
önermesinin karşıt tersi aşağıdakilerden hangisidir?
A) (∃x ∈ R, x2 ≠ 1) ⇒ (∀x ∈ R, x3 ≤ 0)
B) (∀x ∈ R, x2 ≠ 1) ⇒ (∃x ∈ R, x2 < 0)
C) (∀x ∈ R, x2 ≠ 1) ⇒ (∃x ∈ R, x3 ≤ 0)
D) (∃x ∈ R, x3 ≤ 0) ⇒ (∀x ∈ R, x2 ≠ 1)
E) (∃x ∈ R, x2 < 0) ⇒ (∀x ∈ R, x2 ≠ 1)
33
1. 2010 – YGS
p, q ve r önermelerinini değilleri sırasıyla p′, q′, r′
ile gösterildiğine göre, aşağıdakilerden hangisi
p v q ⇒ q ∧ r önermesine denktir?
A) p′ ∧ q′ ⇒ q′ v r′
B) p′ ∧ q′ ⇒ q′ ∧ r′
C) p′ v q′ ⇒ q′ ∧ r′
D) q′ ∧ r′ ⇒ p′ v q′
E) q′ v r′ ⇒ p′ ∧ q′
2. 2011 – YGS
p : a = 0
q : a + b = 0
r : a.b = 0
önermeleri veriliyor. Buna göre aşağıdaki koşullu
önermelerden hangisi doğrudur?
A) r ⇒ p B) p ⇒ r C) q ⇒ p
D) p ⇒ q E) q ⇒ r
ESEN YAYINLARI
ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI
Mantık
34
ESEN YAYINLARI
1.E 2.B
??? ise (⇒) bağlacının özelikleri